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『転載による現代詩』『クロラ』『小倉拓也』

2009-05-03

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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%81%96%E3%83%9A%E3%83%86%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%96%E3%83%AB%E3%82%B0%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9


偏りのないコインを表が出るまで投げ続け、表がでたときに、賞金をもらえるゲームがあるとする。もらえる賞金は1回目に表がでたら1円(通貨単位は本質ではなく、どんなものでもいい。ベルヌーイの原論文ではダカット(英語)金貨で、現在の約500日本円相当だった)、1回目は裏で2回目に表がでれば倍の2円、2回目まで裏で3回目が表ならまたその倍の4円というふうに倍々でふえる。つまり表が出るまでに投げた回数を n とすると、2(n-1)円もらえるのである。10回目に表が出れば512円、20回目に出れば52万4288円、30回目なら5億3687万0912円である。ここで、このゲームには賭け金が必要であるとしたら、賭け金の金額が何円までなら払っても損ではないと言えるだろうか。

多くの場合、この種の問題では賞金の期待値を算出して、賭け金がそれ以下であれば良いとする。ところが、この問題で実際に賞金の期待値を計算してみると、その数値は無限大に発散してしまうのである。すなわち期待値を W とすると、

W=∞

となる。したがって、期待値によって判断するならば、賭け金がいくら大金であっても参加すべきであるということになる。

ところが実際には、このゲームでは 1/2 の確率で1円、1/4 の確率で2円、1/1024 の確率で512円の賞金が得られるに過ぎない。したがって、そんなに得であるはずがないことは直観的に分かる。ゆえにこれはパラドックスとされる。


サンクトペテルブルクパラドックス ― 出典:フリー百科事典ウィキペディアWikipedia)』2009.5.3